Об'єм шкірки апельсина

Ви купили апельсин і розрізали його навпіл. Чи можна, дивлячись на половинку апельсина, визначити, чого в ній більше - шкірки або м'якоті?

Питання здається дивним, адже шкірка - це тонкий шар, край апельсина (будемо вважати, що апельсин має форму кулі). Виявляється, що відносно тонкий шар на кордоні кулі має той же обсяг, що і вся інша частина. Наприклад, у апельсина діаметром 10 см з шкіркою товщиною 1 см майже половина всього обсягу зосереджена в шкірці!

Давайте перевіримо. Розглянемо два кулі радіусів R і r (R > r). Яким повинен бути радіус меншого кулі, щоб його обсяг становив половину обсягу великого?

Об'єм кулі радіуса R дорівнює VR=4/3πR³.

Для знаходження r запишемо рівняння:

Vr  = VR – Vr або 4/3πr³ = 4/3πR³ – 4/3πr³.

З нього випливає, що  R³ = 2r³.

Звідси одержуємо, що r ≈ 0,79R ≈ 4/5R.

Таким чином, майже половина обсягу кулі зосереджена в шарі біля поверхні товщиною всього лише 1/5 радіуса.

У представленому на малюнку апельсині шкірки і м'якоті порівну.

Форма рівняння Vr  = VR –Vr замість очевидної VR = 2Vr

записана, щоб нагадати одну ідею, таку поширену в геометрії і корисну 

при вирішенні життєвих завдань: фігура, для площі або об’єму якої немає 

готової формули, представляється як різниця «відомих» фігур.