Геометрія (7 клас)

Завдання на побудову

Коло

Коло — геометрична фігура, що складається з усіх точок площини, які знаходяться на заданій відстані від даної точки. Цю точку називають центром кола, а задану відстань — радіусом кола.

Радіус — це відрізок, що з'єднує центр кола з будь-якою точкою кола. З визначення випливає, що можна провести нескінченну кількість радіусів і вони всі мають однакову довжину.

Відрізок, який сполучає дві точки на колі, називають хордою.

Якщо хорда проходить через центр кола, то її називають діаметром кола.

Діаметр - найдовша хорда. 

У колі також можна провести нескінченну кількість діаметрів.

Якщо сполучити дві точки кола не відрізком, а кривою, що проходить по самому колу, то утвориться частина кола між двома точками, яку називають дугою.

Якщо на колі позначити дві точки, то буде дві дуги. Тому для назви дуги використовують три латинські букви, які можуть бути як маленькі, так і великі.

На рис. можна виділити: дуга BDH, дуга ACG та інші.

На рис. можна виділити: дуга AxB і дуга AyB.

Частина площини, обмежена колом називається кругом.

Завдання на побудову

У завданнях, де необхідно виконати конструкції, використовуються  циркуль і лінійка.

Дуже важливо запам'ятати, що в цих завданнях лінійка використовується не як інструмент для вимірювання, а виключно тільки для проведення прямої, променя або відрізка через дві дані точки, тобто для проведення прямої лінії. Циркуль використовується для побудови кола або дуги кола.

Розглянемо п'ять основних геометричних побудов, у яких використовуємо згадані дії (побудова прямої та кола):

1. Побудова відрізка, що дорівнює даному. 

2. Побудова кута, що дорівнює даному. 

3. Побудова бісектриси кута. 

4. Побудова перпендикулярних прямих. 

5. Побудова середини відрізка.

1. Побудова відрізка, що дорівнює даному

Див. відео.

Ясно, що таким чином ми отримали відрізок, що дорівнює даному. Відповідно до визначення кола, воно складається з точок, розташованих на рівній відстані (радіусі) від якоїсь точки (центр кола).

Якщо центром служить початкова точка променя C, радіусом — даний відрізок AB, то точка перетину кола і променя D і є шукана кінцева точка відрізка CD, що дорівнює даному відрізку AB.

2. Побудова кута, що дорівнює даному

1. Намалювати коло (або частину кола) з центром у вершині даного кута так, щоб воно перетнула сторони даного кута.

На рисунку – коло з центром у точці О. А і В – точки перетину кола з сторонами кута.
2. Намалювати коло (або його частину) з тим же радіусом, що і в п. 1, але з вершиною в точці, від якої відкладений промінь. При цьому промінь і коло  повинні мати точку перетину.

На рисунку – промінь з вершиною у точці С. Також точка С буде центром кола. Точка D – точка перетину кола і променя.
3. Зафіксувати циркулем відстань між точками перетину кола з п. 1 зі сторонами даного кута.

На рисунку – відстань АВ.
4. Намалювати коло (або його частину) радіусом, отриманим в п. 3, і з центром в точці перетину даного променя і намальованої в п. 2 кола. При цьому кола (або їх частини) повинні мати точку перетину.

На рисунку – коло радіуса АВ з центром у точці D. Точка Е – точка перетину кіл.
5. В точку перетину двох кіл, отриману в п. 4 (точку Е), провести новий промінь з точки, від якої відкладений даний по умові завдання промінь (промінь СЕ). Ці два промені складають кут, рівний даному.

На рисунку кут ЕСD.

Доведемо, що побудований кут ECD і є той шуканий кут, що дорівнює даному куту AOB. 

Якщо ми побудували коло з центром C  — початковою точкою променя  — і таким самим радіусом, як у кола з центром O, то CD = OB. 

Якщо далі ми побудували коло з центром D і радісуом, рівним відрізку BA, і отримали точку перетину обох кіл E, то BA = DE ).Провели промінь CE. Очевидно, OA = CE. 

Отже трикутники AOB і ECD рівні за третьою ознакою рівності трикутників, у них рівні і кути, у тому числі кут ECD дорівнює куту AOB.

3. Побудова бісектриси кута

За умовою маємо заданий кут В. Спочатку побудуємо коло з центром у точці О. Точки А і В – точки перетину заданого кута з побудованим колом. З точок А і В, як з центрів кіл, проведемо дві дуги однакового радіуса, які перетнуться між собою у точці С. Проведемо промінь ОС, який і буде бісектрисою заданого кута О.

Щоб довести, що OC дійсно ділить кут AOB навпіл, досить розглянути трикутники AOC і BOC.

OA=OB як радіуси одного кола, а AC=BC, оскільки ми при побудові вибрали однакові радіуси для обох кіл.

Сторона OC - спільна.

Ці трикутнику рівні за третьою ознакою рівності трикутників.

Отже, їхні відповідні кути рівні.

Значить, AOC і BOC  — дві рівні частини одного кута, і це означає, що промінь OC ділить кут навпіл.

4. Побудова перпендикулярних прямих

Нехай потрібно побудувати перпендикуляр до прямої. Візьмемо на ній довільну точку А. З точки А відкладемо у різні боки на прямій дві дуги таким чином, щоб вони перетнулися з прямою у точках В і С.

Чому DE є перпендикулярною до BC?

AB=AC  — так ці точки були відкладені при побудові.

BD=CD, оскільки обидва  кола побудували з однаковими радіусами.

Значить, DA або EA — медіани до основи рівнобедрених трикутників ADB або AEB.

Медіана в трикутнику є також висотою, тобто перпендикулярна до основи.

5. Побудова середини відрізка

Ця конструкція така ж, як у випадку побудови перпендикулярних прямих, і вже доведено, що DC або EC ділить AB навпіл, тобто C - серединна точка відрізка AB.

Побудова трикутників за трьома елементами

Теорія:

Відстань від точки до прямої

1. Якщо від точки C до прямої a проведено перпендикуляр CA, то всі інші відрізки, проведені від цієї точки до прямої, називаються похилими.

2. Перпендикуляр, проведений від точки до прямої, менший від будь похилої, проведеної з тієї ж точки до цієї прямої, оскільки в прямокутному трикутнику гіпотенуза більша за катет.

3. Довжина перпендикуляра, проведеного від точки до прямої, називається відстанню від цієї точки до прямої.

Відстань між паралельними прямими

Усі точки однієї з паралельних прямих рівновіддалені від іншої паралельної прямої.

Отже, відстань між двома паралельними прямими визначається довжиною перпендикуляра, опущеного з будь-якої точки, взятої на одній прямій, на іншу пряму.

Побудова трикутника за трьома елементам

У темах про побудови було розглянуто:

1. як провести коло з даними центром і радіусом;

2. як на даному промені від його початку відкласти відрізок, рівний даному;

3. як побудувати кут, рівний даному;

4. як побудувати бісектрису кута;

5. як побудувати перпендикулярну пряму;

6. як побудувати середину відрізка.

Використовуючи розглянуті побудови й дані елементи трикутника, можна побудувати трикутник, рівний даному.

Побудова трикутника за двома сторонами й кутом між ними

Приклад:

Дано два відрізки a і b, вони дорівнюють сторонам шуканого трикутника, і кут ∡1, дорівнює куту трикутника між сторонами. Необхідно побудувати трикутник з елементами, що дорівнюють даним відрізкам і куту.

1. Провести пряму.

2. На прямій від обраної точки A відкласти відрізок, що дорівнює даному відрізку a.

3. Побудувати кут, що дорівнює даному∡1 (вершина кута A, одна сторона кута лежить на прямій).

4. На іншій стороні кута відкласти відрізок, що дорівнює даному відрізку b.

5. З'єднати кінці відрізків.

Згідно з ознакою рівності трикутників за двома сторонамми й куту між ними, побудований трикутник дорівнює із всіма трикутниками, які мають дані елементи.

Побудова трикутника за стороною і двома прилеглими до неї кутами

Приклад:

Дано відрізок a и два кути∡1 і∡2, які дорівнюють кутам трикутника, прилеглим до даної сторони. Необхідно побудувати трикутник з елементами, які дорівнюють даному відрізку й кутам.

1. Провести пряму.

2. На прямій від обраної точки A відкласти відрізок, що дорівнює даному відрізку a, і зазначити інший кінець відрізка B.

3. Побудувати кут, що дорівнює даному∡1 (вершина кута A, одна сторона кута лежить на прямій).

4. Побудувати кут, що дорівнює даному∡2 (вершина кута \ (B \), одна сторона кута лежить на прямій).

5. Точка перетину інших сторін кутів є третьою вершиною шуканого трикутника.

Згідно з ознакою рівності трикутників за стороною та двома прилеглим до неї кутам, побудований трикутник дорівнює усім трикутникам, які мають дані елементи.

Побудова трикутника за трьома сторонами

Завдання. Дано три відрізки: a, b і c, що дорівнюють сторонам шуканого трикутника. Необхідно побудувати трикутник зі сторонами, що дорівнюють даним відрізкам.

У цьому випадку перед початком побудови необхідно переконатися, чи виконується нерівність трикутника (довжина кожного відрізка менша від суми довжин двох інших відрізків), і ці відрізки можуть бути сторонами трикутника.

Приклад:

Якщо так, то виконати такі дії:

1. Провести пряму.

2. На прямій від обраної точки A відкласти відрізок, що дорівнює даному відрізку a, і зазначити інший кінець відрізка B.

3. Провести коло з центром A і радіусом, що дорівнює відрізку b.

4. Провести коло з центром B і радіусом, що дорівнює відрізку c.

5. Точка перетину кіл є третьою вершиною шуканого трикутника.

Згідно з ознакою рівності трикутників за трьома сторонами, побудований трикутник дорівнює всім трикутникам, які мають дані сторони.